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CF1209A题解：贪心算法在颜色分组问题中的应用

题目背景

CF1209A（Codeforces 1209A）是一道经典的贪心算法问题，通常出现在编程竞赛中，题目大意是给定一个数组，要求将元素分成若干组，每组满足组内至少有一个元素能被该组的某个公共数整除,目标是找到最少的组数。

问题描述

• 输入：一个长度为 ( n ) 的数组 ( a_1, a_2, \ldots, a_n )（( 1 \leq a_i \leq 100 )）。
• 输出：最少的分组数量，使得每组中至少存在一个数 ( x )，组内其他数均能被 ( x ) 整除。

解题思路

贪心策略：

1. 排序：将数组升序排序，便于处理最小元素。
2. 标记法：遍历数组，对于未被分组的数 ( a_i )，将其作为新组的基准，标记所有能被 ( a_i ) 整除的数为已分组。
3. 计数：每开启一个新组，答案加1。

正确性证明：
由于每次选择当前最小的未被分组的数作为基准，可以更大化覆盖后续元素，从而减少总组数,这是贪心算法的典型应用。

代码实现（C++示例）

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    sort(a.begin(), a.end());
    vector<bool> grouped(n, false);
    int groups = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (!grouped[i]) {
            groups++;
            for (int j = i; j < n; ++j) {
                if (a[j] % a[i] == 0) grouped[j] = true;
            }
        }
    }
    cout << groups << endl;
    return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：排序 ( O(n \log n) )，双重循环最坏 ( O(n^2) )，但实际因标记优化接近 ( O(n) )。
• 空间复杂度：( O(n) )（标记数组）。

本题通过贪心策略高效解决了最小分组问题，关键在于排序和合理选择基准数，类似问题可举一反三，如“区间覆盖”或“任务调度”。

延伸思考：若题目要求每组必须满足所有数两两可整除，如何修改算法？欢迎在评论区讨论！